[CUỘC THI TRÍ TUỆ VICE]
Trang fanpage của cuộc thi đã có hơn 1,5k like đó, bạn đã like để nhận tin mới nhất chưa?
Cuộc thi Trí tuệ VICE | Facebook
Trả lời ngay những câu hỏi dưới đây tích cực để có cơ hội nhận giải thưởng lên đến 500.000đ nhé!
Lưu ý từ giờ, những câu hỏi được vừa được duyệt là câu hỏi hay, vừa là những câu hỏi được mình xác nhận cũng sẽ được cộng điểm hỏi đáp trong sự kiện của mình nha ^^
---------------------------------------------
[Toán.C266-269 _ 3.3.2021]
Câu 5 em thấy thầy làm từ chiều, em nghĩ anh nên đổi câu khác:
Câu 5 (có chữ HẾT (.❛ ᴗ ❛.) )
Đặt \(P=a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)
Ta có:
\(a\ge0\Rightarrow b^3+1\ge1\Rightarrow a\sqrt{b^3+1}\ge a\)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}b\sqrt{c^3+1}\ge b\\c\sqrt{a^3+1}\ge c\end{matrix}\right.\)
Cộng vế: \(P\ge a+b+c=3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;3\right)\) và các hoán vị
\(a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\dfrac{1}{2}a\left(b^2+2\right)=\dfrac{1}{2}ab^2+a\)
Tương tự: \(b\sqrt{c^3+1}\le\dfrac{1}{2}bc^2+b\) ; \(c\sqrt{a^3+1}\le\dfrac{1}{2}ca^2+c\)
Cộng vế: \(P\le\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=mid\left\{a;b;c\right\}\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\le0\Leftrightarrow a^2+bc\le ac+ab\Rightarrow ca^2+bc^2\le ac^2+abc\)
\(\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le ab^2+ac^2+abc\le ab^2+ac^2+2abc=a\left(b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le\dfrac{1}{2}.2a\left(b+c\right)\left(b+c\right)\le\dfrac{1}{54}\left(2a+2b+2c\right)^3=4\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2}.4+3=5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;0\right)\) và 1 số hoán vị
\(\left(x;2y;3z\right)\Rightarrow\left(a;b;c\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=18\\CM:\dfrac{b+c+5}{1+a}+\dfrac{c+a+5}{1+b}+\dfrac{a+b+5}{1+c}\ge\end{matrix}\right.\dfrac{51}{7}\)
\(bdt\Leftrightarrow\dfrac{23-a}{a+1}+\dfrac{23-b}{b+1}+\dfrac{23-c}{c+1}\ge\dfrac{51}{7}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{24}{a+1}-1+\dfrac{24}{b+1}-1+\dfrac{24}{c+1}-1\ge\dfrac{51}{7}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{24}{a+1}+\dfrac{24}{b+1}+\dfrac{24}{c+1}\ge\dfrac{72}{7}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\ge\dfrac{3}{7}\)
Mà Theo Cauchy-Schwarz thì: \(VT\ge\dfrac{9}{a+b+c+3}=\dfrac{9}{21}=\dfrac{3}{7}\)
"=".....
Bài cuối: (E nghĩ đề này thiếu a, b, c dương)
Ta có: \(\dfrac{2y+3z+5}{1+x}+\dfrac{3z+x+5}{1+2y}+\dfrac{x+2y+5}{1+3z}\)
= \(\dfrac{2y+3z+5}{1+x}+1+\dfrac{3z+x+5}{1+2y}+1+\dfrac{x+2y+5}{1+3z}+1-3\)
= \(\dfrac{x+2y+3z+6}{1+x}+\dfrac{x+2y+3z+6}{1+2y}+\dfrac{x+2y+3z+6}{1+3z}-3\)
= \(\left(x+2y+3z+6\right)\left(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+3z}\right)-3\)
= \(24\left(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+3z}\right)-3\)
Ta có BĐT phụ: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) với mọi a, b, c > 0
Thật vậy: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số \(\dfrac{1}{a}\); \(\dfrac{1}{b}\); \(\dfrac{1}{c}\) dương ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\) (*)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số a; b; c dương ta có:
a + b + c \(\ge\) 3\(\sqrt[3]{abc}\) (**)
Nhân 2 vế của (*) và (**) ta có:
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\sqrt[3]{\dfrac{abc}{abc}}=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c
Áp dụng BĐT phụ cho 3 số \(\dfrac{1}{1+x}\); \(\dfrac{1}{1+2y}\); \(\dfrac{1}{1+3z}\) ta có:
\(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+3z}\ge\dfrac{9}{x+2y+3z+3}=\dfrac{9}{21}=\dfrac{3}{7}\)
\(\Leftrightarrow\) \(24\left(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+3z}\right)-3\ge24\cdot\dfrac{3}{7}-3=\dfrac{51}{7}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) 1 + x = 1 + 2y = 1 + 3z
\(\Leftrightarrow\) x = 2y = 3z
