\(\frac{2^{2020}}{3x+1}\) nguyên \(\Rightarrow3x+1=Ư\left(2^{2020}\right)\)
\(\Rightarrow3x+1=2^n\) với \(\left\{{}\begin{matrix}n\in N\\0\le n\le2020\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow3x=2^n-1\)
- Với \(n=2k+1\Rightarrow3x=2^{2k+1}-1=2.4^k-1\)
Do \(4^k\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow2.4^k-1\equiv1\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow2.4^k-1⋮̸3\Rightarrow3x=2.4^k-1\) vô nghiệm
- Với \(n=2k\Rightarrow3x=2^{2k}-1=4^k-1\)
\(4^k\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow4^k-1⋮3\) \(\forall k\in N\)
\(\Rightarrow\) n là số chẵn \(\Rightarrow\) có \(\frac{2020-0}{2}+1=1011\) giá trị n
Mà ứng với mỗi giá trị n có duy nhất 1 giá trị \(x=\frac{2^n-1}{3}\) thỏa mãn
\(\Rightarrow\) Có 1011 số nguyên x thỏa mãn
