ĐKXĐ: \(-3\le x\le6\)
Đặt \(\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}=t\)
Ta có: \(t=\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}\ge\sqrt{x+3+6-x}=3\)
\(t\le\sqrt{2\left(x+3+6-x\right)}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow3\le t\le3\sqrt{2}\)
Lại có:
\(t^2=9+2\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}\Rightarrow-\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}=\dfrac{9-t^2}{2}\)
Phương trình trở thành:
\(t+\dfrac{9-t^2}{2}=m\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}t^2+t+\dfrac{9}{2}\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}t^2+t+\dfrac{9}{2}\) trên \(\left[3;3\sqrt{2}\right]\)
\(-\dfrac{b}{2a}=1\notin\left[3;3\sqrt{2}\right]\)
\(f\left(3\right)=3\) ; \(f\left(3\sqrt{2}\right)=\dfrac{-9+6\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{-9+6\sqrt{2}}{2}\le f\left(t\right)\le3\)
\(\Rightarrow\) Phương trình có nghiệm khi \(\dfrac{-9+6\sqrt{2}}{2}\le m\le3\)
Có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn
