Bài 3: Lôgarit

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Huyền anh

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thoả mãn 2<x<20210 và log2(x+2^y-1) -2^y= y-2x

 

Nguyễn Việt Lâm
27 tháng 2 2023 lúc 23:57

Đề là \(log_2\left(x+2^{y-1}\right)-2^y=y-2x\) đúng ko nhỉ?

Đặt \(log_2\left(x+2^{y-1}\right)=z>0\)

\(\Rightarrow x+2^{y-1}=2^z\)

Ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}z-2^y=y-2x\\x+2^{y-1}=2^z\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z-2^y=y-2x\\2.2^z=2x+2^y\end{matrix}\right.\)

Cộng vế: \(\Rightarrow2^{z+1}+z=2^{y+1}+y\)

Hàm \(f\left(t\right)=2^{t+1}+t\) có \(f'\left(t\right)=2^{t+1}.ln2+1>0\) nên đồng biến trên miền xác định

\(\Rightarrow z=y\)

Thế vào \(z-2^y=y-2x\Rightarrow y-2^y=y-2x\)

\(\Rightarrow2^y=2x\Rightarrow y=log_2\left(2x\right)\)

Ứng với mỗi giá trị của x cho đúng 1 giá trị của y và ngược lại

Do \(2< x< 20210\Rightarrow2< y< log_2\left(2.20210\right)\approx15,1\)

\(\Rightarrow y=\left\{3;4;5;...;15\right\}\) có 13 giá trị nên có 13 cặp thỏa mãn


Các câu hỏi tương tự
Đào Thu Hiền
Xem chi tiết
nanako
Xem chi tiết
Minh Nguyệt
Xem chi tiết
Nguyễn Hồng Phúc
Xem chi tiết
Minh Anh
Xem chi tiết
nanako
Xem chi tiết
Minh Nguyệt
Xem chi tiết
Minh Nguyệt
Xem chi tiết
Quỳnh Như Trần Thị
Xem chi tiết