Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp đa giác, do đa giác có số đỉnh là số chẳn nên đường nối một đỉnh tùy ý với tâm O sẽ đi qua một đỉnh khác (ta gọi là 2 điểm xuyên tâm đối)
do đa giác có n đỉnh nên có \(\frac{n}{2}\) cặp điểm xuyên tâm đối (hay có \(\frac{n}{2}\) đường chéo đi qua tâm O)
với mỗi hai đường chéo qua tâm O ta được 1 hình chữ nhật
vì có 12 hình chữ nhật và có \(\frac{n}{2}\) đường chéo nên : \(C_{\frac{n}{2}}^2=15\left(dk:n\ge4\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(\frac{n}{2}\right)!}{2!.\left(\frac{n}{2}-2\right)!}=15\) \(\Leftrightarrow\frac{\frac{n}{2}.\left(\frac{n}{2}-1\right).\left(\frac{n}{2}-2\right)!}{2.\left(\frac{n}{2}-2\right)!}=15\) \(\Leftrightarrow\frac{\frac{n}{2}.\left(\frac{n}{2}-1\right)}{2}=15\Leftrightarrow\frac{n}{2}.\left(\frac{n}{2}-1\right)=30\Leftrightarrow n^2-2n=120\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}n=12\\n=-10\left(loai\right)\end{array}\right.\)
Vậy \(n=12\) thỏa mãn
