Question

Cho đa giác đều \(A_1A_2.....A_n,\) (\(n\ge2\), n nguyên) nội tiếp đường tròn O. Biết rằng số tam giác có 3 đỉnh trong 2 n điểm \(A_1,A_2,....,.A_{2n}\) gấp 20 lần số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n điểm \(A_1A_2.....A_n\). Tìm n

Answer 1

Số tam giác là \(C_{2n}^3\). Một đa giác đều 2n đỉnh thì có n đường chéo xuyên tâm. Cứ 2 đường chéo xuyên tâm thì có một hình chữ nhật theo yêu cầu. Vậy số hình chữ nhật là \(C_n^2\).

Theo bài ta có phương trình :

\(C_{2n}^3=20C_n^2,\left(n\ge2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(2n\right)!}{\left(2n-3\right)!3!}=20\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(2n-2\right)\left(2n-1\right)2n}{3}=20\left(n-1\right)n\)

\(\Leftrightarrow2\left(n-1\right)\left(2n-1\right)2n=60\left(n-1\right)n\)

\(\Leftrightarrow2n-1=15\), (do \(n\ge2\))

\(\Leftrightarrow n=18\)

Vậy đa giác đều có 16 cạnh, (thập lục giác đều)