Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trai Vô Đối

C/m\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\left(a,b,c>0\right)\)

TFBoys
4 tháng 8 2017 lúc 16:33

Vì a,b,c>0 áp dụng BĐT Cauchy ta có

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\dfrac{a}{\dfrac{a+b+c}{2}}=\dfrac{2a}{a+b+c}\) (1)

Tương tự \(\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c}\) (2) và \(\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\) (3)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\)

\(\ge2\left(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}\right)=2\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c+a\\a=b+c\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c=0\) (vô lý)

Vậy đẳng thức ko xảy ra, hay \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)


Các câu hỏi tương tự
Bùi Thị Ngọc Anh
Xem chi tiết
Thịnh Gia Vân
Xem chi tiết
Luu Pin
Xem chi tiết
Nguyen Thi Hong Ngoc
Xem chi tiết
Hương Phùng
Xem chi tiết
Hương Phùng
Xem chi tiết
Lý Mẫn
Xem chi tiết
Hương Phùng
Xem chi tiết
lu nguyễn
Xem chi tiết