`\sqrt{a^2+b^2+c^2}<=|a|+|b|+|c|(***)`
`<=>(\sqrt{a^2+b^2+c^2})^2<=(|a|+|b|+|c|)^2`
`<=>a^2+b^2+c^2<=a^2+b^2+c^2+2|ab|+2|bc|+2|ca|`
`<=>0<=2|ab|+2|bc|+2|ca|` luôn đúng.
`=>(***)` được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi `ab=bc=ca=0<=>a=b=0` hoặc `b=c=0` hoặc `c=a=0`
Cho a, b, c là các số thực dương. CMR: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)
Cho S = \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\)với a, b,c dương
CMR: S>2
Cho a + b + c = 1 và a,b,c là các số thực dương. CMR: \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{3}{2}\)
Bài 1: CMR với a, b không âm, ta có:
a) \(\dfrac{a+b}{2}>=\sqrt{ab}\)
Giải pt:
\(\sqrt{-x^2+4x-2}+\sqrt{-2x^2+8x-5}=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)
Cho a+b+c=0
CMR : \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\) =/\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)/
cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a\(\ge1\),b\(\ge2,c\ge3\)
\(CMR\)\(a+b+c+23\ge4\sqrt{a-1}+6\sqrt{b-2}+8\sqrt{c-3}\)
Cho a,b,c là các số hữu tỉ khác 0 và \(a=b+c\)
CMR: \(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}\) là 1 số hữu tỉ
cho a,b,c>0
CMR:
1) \(a+b+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{a+b}\)
2) \(\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(b+c+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(c+a+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge4\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}}\right)\)
cho a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
chứng mỉnh rằng \(A=\sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+b+c}}+\sqrt{\dfrac{b^2}{b^2+c+a}}+\sqrt{\dfrac{c^2}{c^2+a+b}}\le\sqrt{3}\)
