Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b+c\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{1+b+c}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+b+c}}\le\dfrac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(A\le\dfrac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a\sqrt{1+b+c}=\dfrac{\sqrt{3a}\sqrt{a+ab+bc}}{\sqrt{3}}\le\dfrac{4a+ab+bc}{2\sqrt{3}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(\Rightarrow\dfrac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\le\dfrac{2(a+b+c)+(ab+bc+ca)}{\sqrt{3}(a+b+c)}\)
\(\le\dfrac{2(a+b+c)+\dfrac{(a+b+c)^2}{3}}{\sqrt{3}(a+b+c)}\le\dfrac{2+\dfrac{a+b+c}{3}}{\sqrt{3}}\le\sqrt{3}\)
Hay \(A\le\sqrt{3}\) *ĐPCM*
các bạn ơi đề mik thiếu là a,b,c >0 nữa cơ cho xin lỗi nhé
