Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là \(n, n + 1, n+ 2, n + 3\) \(\left(n\in N\right)\) Theo đề bài ta có:
\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1\)
\(= (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1 \)
Đặt \(n^2 + 3n = t\) \(\left(t\in N\right)\) thì (*)
\(= t( t + 2 ) + 1 = t^2 + 2t + 1 = ( t + 1 )^2\)
\(= (n^2 + 3n + 1)^2\)
Vì \(n\in N\) nên suy ra: \( (n^2 + 3n + 1)\) \(\in N\)
=> Vậy \(n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1\) là số chính phương.
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : n, n+1, n+2 , n+3 \(n\in N\) .Theo đề bài ta có:
\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+2\right)+1=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)(1)
Đặt \(n^2+3n=t\) \(t\in N\)thì (1) = \(t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1\)
\(=\left(t+1\right)^2=\left(n^2+3n+1\right)^2\)
Vì \(n\in N\Rightarrow\left(n^2+3n+1\right)^2\in N\) \(\Rightarrowđpcm\)
