Question

CMR: Có vô số số nguyên x để A là số chính phương với \(A=\left(1+2+3+...+x\right)\left(1^2+2^2+...+x^2\right)\)

Answer 1

\(1+2+...+x=\frac{x\left(x+1\right)}{2}\)

\(1^2+2^2+...+x^2=\frac{x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{6}\)

\(\Rightarrow A=\frac{x^2\left(x+1\right)^2\left(2x+1\right)}{12}=\left[\frac{x\left(x+1\right)}{2}\right]^2\frac{\left(2x+1\right)}{3}\)

Do \(\left[\frac{x\left(x+1\right)}{2}\right]^2\) là SCP với mọi x nguyên

Nên với mọi x thỏa mãn \(\frac{2x+1}{3}=\left(2k+1\right)^2\Rightarrow x=6k^2+6k+1\) thì A là SCP

Vậy có vô số x nguyên có dạng \(x=6k^2+6k+1\) để A là SCP