Violympic toán 6

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
nguyen the tuan quang

CMR

11n+2+122n+1 ⋮133

Trần Minh Hoàng
2 tháng 2 2019 lúc 10:02

Ta có:

11n + 2 + 122n + 1

= 11n . 112 + (122)n . 12

= 11n . 121 + 144n . 12

= 11n . (121 + 12) + (144n - 11n) . 12

= 11n . 133 + (144n - 11n) . 12

Lại có: 144n \(\equiv\) 11n (mod 133)

\(\Rightarrow\) 144n - 11n \(⋮\) 133

\(\Rightarrow\)144n - 11n \(⋮\) 133

\(\Rightarrow\) (144n - 11n) . 12 \(⋮\) 133

\(\Rightarrow\) 11n . 133 + (144n - 11n) . 12 \(⋮\) 133

Nguyễn Thành Trương
2 tháng 2 2019 lúc 10:07

Ta có:
$11n+2 + 122n+1 + 122$
$= 112 x 11n + 12 x (122)n + 122$
$= 121 x 11n + 12 x (122)n + 144$
$= (133 - 12) x 11n + 12 x (122)n + 144$
$= 133 x 11n - 12 x 11n + 12 x 144n + 144$
$= 133 x 11n + 12 x (144n - 11n) + 144$
Vì:
$133 x 11n ⋮ 133$
$12 x (144n - 11n) = 12 x (144 - 11) x P = 12 x 133 x P ⋮ 133$
$144$ chia cho $133$ dư $11$
Suy ra: $11n+2 + 122n+1 + 122$ chia cho $133$ dư $11$

Nguyễn Thành Trương
2 tháng 2 2019 lúc 10:07

Ta có:
11n+2 + 122n+1 + 122
= 112 x 11n + 12 x (122)n + 122
= 121 x 11n + 12 x (122)n + 144
= (133 - 12) x 11n + 12 x (122)n + 144
= 133 x 11n - 12 x 11n + 12 x 144n + 144
= 133 x 11n + 12 x (144n - 11n) + 144
Vì:
133 x 11n ⋮ 133
12 x (144n - 11n) = 12 x (144 - 11) x P = 12 x 133 x P ⋮ 133
144 chia cho 133 dư 11
Suy ra: 11n+2 + 122n+1 + 122 chia cho 133 dư 11

Nguyễn Thành Trương
2 tháng 2 2019 lúc 10:08

CÁCH KHÁC

Hỏi đáp Toán

Nguyễn Thành Trương
2 tháng 2 2019 lúc 10:09

Ta có: $12^{2n+1}+11^{n+2}=133(144^{n}+11^{n})-(11^{2}144^{n}+12.11^{n})$

Ta chỉ cần chứng minh:$11^{2}144^{n}+12.11^{n}$ chia hết cho 133.Ta có:

$11^{2}144^{n}\equiv 11^{n+2}$(mod 133)(1)

Ta lại có:$12\equiv -11^{2}$(mod 133)

$\Leftrightarrow 12.11^{n}\equiv -11^{n+2}$(mod 133)(2)

Cộng (1) và (2), ta có đpcm.

Nguyễn Thành Trương
2 tháng 2 2019 lúc 10:10

Xét modulo $3$ cho $n$ thôi . Ở đây mình xét cụ thể TH $n=3k$. TH \(n=3k+1,3k+2\) ta hoàn toàn làm tương tự

TH1: \(n=3k\)

Ta có :

\(11^3\equiv 1\pmod 7\Rightarrow 11^n=11^{3k}\equiv 1\pmod 7\Rightarrow 11^{n+2}\equiv 11^2\equiv 2\pmod 7\)

\(12^6\equiv 1\pmod 7\Rightarrow 12^{2n}=12^{6k}\equiv 1\pmod 7\Rightarrow 12^{2n+1}\equiv 12\pmod 7\)

\(\Rightarrow 11^{n+2}+12^{2n+1}\equiv 14\equiv 0\pmod 7\) $(1)$

Lại có:

\(11^3\equiv 1\pmod {19}\Rightarrow 11^n=11^{3k}\equiv 1\pmod {19}\Rightarrow 11^{n+2}\equiv 7\pmod {19}\)

\(12^6\equiv 1\pmod {19}\Rightarrow 12^{2n}=12^{6k}\equiv 1\pmod {19}\Rightarrow 12^{2n+1}\equiv 12\pmod {19}\)

\(\Rightarrow 11^{n+2}+12^{2n+1}\equiv 19\equiv 0\pmod {19}\) $(2)$

Từ \((1),(2)\) kết hợp với \((7,19)=1\) suy ra \(11^{n+2}+12^{2n+1}\vdots (7.19=133)\)(đpcm)

MOD TOÁN

Nguyễn Thành Trương
2 tháng 2 2019 lúc 10:11

A(n) = 11^(n+2) + 12^(2n+1)
khỏi suy nghĩ nhiều, ta dùng qui nạp nhé:
* n = 0: A(0) = 11² + 12 = 133 chia hết cho 133
* giả sử A(k) chia hết cho 133,
ta có: A(k) = 11^(k+2) + 12^(2k+1) chia hết cho 133
ta cm A(k+1) chia hết cho 133
A(k+1) = 11^(k+1+2) + 12^(2k+2+1) =
= 11^(k+2).11 + 12^(2k+1).12²
= 11.[11^(k+2)+12^(2k+1)] + (12²-11).12^(2k+1)
= 11.A(k) + 133.12^(2k+1)
Do giả thiết qui nạp A(k) chia hết cho 133 và 133.12^(2k+1) chi hết cho 133
nên ta có A(k+1) chia hết cho 133
tóm lại A(n) chia hết cho 133 với mọi n thuộc N

Nguyễn Thành Trương
2 tháng 2 2019 lúc 10:11

11^(n+2) + 12^(2n + 1)
= 121.11^n + 12. 144^n
= (133-12).11^n + 12.144^n
= 133.11^n + 12.(144^n-11^n)
Ta thấy:
133.11^n chia hết cho 133
144^n -11^n chia hết cho (144-11) hay 133
==> 11^(n+2) + 12^(2n + 1) chia hết cho 133


Các câu hỏi tương tự
Lê Tiến Đạt
Xem chi tiết
Trần Đình Dủng
Xem chi tiết
thuỳ handan
Xem chi tiết
Lê Phương Thảo
Xem chi tiết
Nguyễn Đoàn Hồng Thái
Xem chi tiết
lưu tuấn anh
Xem chi tiết
Where there is love ther...
Xem chi tiết
lưu tuấn anh
Xem chi tiết
lưu tuấn anh
Xem chi tiết