Violympic toán 7

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
 ♫ Love Music  ♫

CM:

\(\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{4^3}+...+\dfrac{1}{2017^3}< \dfrac{1}{4}\)

Chỉ_Có_1_Mk_Tôi
27 tháng 10 2017 lúc 19:29

Xét thừa số tổng quát:

\(\dfrac{1}{t^3}< \dfrac{1}{t^3-t}=\dfrac{1}{t\left(t^2-1\right)}=\dfrac{1}{t\left(t+1\right)\left(t-1\right)}=\dfrac{1}{\left(t-1\right)t\left(t+1\right)}\)

Thay vào bài toán:

\(\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{4^3}+...+\dfrac{1}{2017^3}< \dfrac{1}{\left(2-1\right)2\left(2+1\right)}+\dfrac{1}{\left(3-1\right)3\left(3+1\right)}+\dfrac{1}{\left(4-1\right)4\left(4+1\right)}+....+\dfrac{1}{\left(2017-1\right)2017\left(2017+1\right)}=\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+\dfrac{1}{3.4.5}+....+\dfrac{1}{2016.2017.2018}\)

Đặt:\(A=\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+\dfrac{1}{3.4.5}+...+\dfrac{1}{2016.2017.2018}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{3.4}-\dfrac{1}{4.5}+...+\dfrac{1}{2016.2017}-\dfrac{1}{2017.2018}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2017.2018}\right)=\dfrac{1}{1.2.2}-\dfrac{1}{2.2017.2018}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2.2017.2018}< \dfrac{1}{4}\left(đpcm\right)\)

Nguyễn Huy Tú
27 tháng 10 2017 lúc 19:41

Ta có: \(\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{2017^3}< \dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+...+\dfrac{1}{2015.2016.2017}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{1.2.3}+\dfrac{2}{2.3.4}+...+\dfrac{2}{2015.2016.2017}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{2015.2016}-\dfrac{1}{2016.2017}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2016.2017}\right)\)

\(=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2.2016.2017}< \dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrowđpcm\)


Các câu hỏi tương tự
Lê Vũ Anh Thư
Xem chi tiết
Lê Vũ Anh Thư
Xem chi tiết
Đức Vương Hiền
Xem chi tiết
nguyen ngoc quy
Xem chi tiết
Kun ZERO
Xem chi tiết
Trần Thị Hảo
Xem chi tiết
Măm Măm
Xem chi tiết
Trần Thị Hảo
Xem chi tiết
Đỗ Diệu Linh
Xem chi tiết