Question

C/m biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến:

x² + xy + y² + 1

Answer 1

Ta có : \(x^2+xy+y^2+1>0\)

\(\Leftrightarrow x^2+xy+\dfrac{1}{4}y^2+\dfrac{3}{4}y^2+1>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+xy+\dfrac{1}{4}y^2\right)+\left(\dfrac{3}{4}y^2+1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2+\left(\dfrac{3}{4}y^2+1\right)>0\)

Do : \(\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2\ge0\) \(\forall xy\) và \(\dfrac{3}{4}y^2+1\ge1>0\) \(\forall y\)

\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2+\left(\dfrac{3}{4}y^2+1\right)>0\)

Vậy : \(x^2+xy+y^2+1>0\) ( đpcm )

Chúc bạn học tốt