Question

Chứng minh: \(x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)-1=0\) có đủ 5 nghiệm.

Answer 1

Lời giải:
Dễ thấy hàm $f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-1$ liên tục trên $\mathbb{R}$
$f(0)=-1<0$

$f(\frac{1}{2})>0$

$f(1)=-1<0$

$f(\frac{5}{2})>0$

$f(3)=-1<0$

$f(5)>0$

Do đó:

$f(0)f(\frac{1}{2})<0$ nên pt có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng $(0; \frac{1}{2})$

$f(\frac{1}{2})f(1)<0$ nên pt có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng $(\frac{1}{2}; 1)$

$f(1)f(\frac{5}{2})<0$ nên pt có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng $(1; \frac{5}{2})$

$f(\frac{5}{2})f(3)<0$ nên pt có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng $(\frac{5}{2};3)$

$f(3)f(5)<0$ nên pt có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng $(3;5)$

Vậy tóm lại pt có ít nhất 5 nghiệm. Mà bậc của $f(x)$ là 5 nên nó chỉ có tối đa 5 nghiệm. 

Tức là pt $f(x)=0$ có đúng 5 nghiệm thực.