Để chứng minh được đẳng thức đó, ta cần chứng minh đẳng thức: 13 + 23 + 33 + ... + 20193 = (1 + 2 + 3 + ... + 2019)2
Ta có:
(1 + 2 + 3 + ... + 2019)2
\(=\left(\frac{2019.2020}{2}\right)^2\)
\(=\left(\frac{1.2}{2}\right)^2+\left[\left(\frac{2.3}{2}\right)^2-\left(\frac{1.2}{2}\right)^2\right]+\left[\left(\frac{3.4}{2}\right)^2-\left(\frac{2.3}{2}\right)^2\right]+...+\left[\left(\frac{2019.2020}{2}\right)^2-\left(\frac{2018.2019}{2}\right)^2\right]\left(1\right)\)
Mặt khác, với số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có:
\(\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2-\left(\frac{\left(n-1\right)n}{2}\right)^2=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}-\frac{\left(n-1\right)n}{2}\right)\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\frac{\left(n-1\right)n}{2}\right)=\frac{2n}{2}.\frac{2n.n}{2}=n^3\)
Do đó biểu thức (1) chính bằng 13 + 23 + 33 + ... + 20193
Vậy ta có đpcm
