Question

chứng minh rằng với mọi n thì số A= n(2n+7) (7n+1) chia hết cho 6

Answer 1

Vì (7n + 1) - n = 6n + 1 là số lẻ nên trong hai số 7n + 1 và n có đúng một số chẵn \(\Rightarrow\) A = n(2n + 7)(7n + 1) \(⋮\) 2 (1)

Xét 3 TH:

+) n = 3k (k \(\in\) N): Khi đó n \(⋮\) 3 \(\Rightarrow\) A = n(2n + 7)(7n + 1) \(⋮\) 3

+) n = 3k + 1 (k \(\in\) N): Khi đó 2n + 7 = 2(3k + 1) + 7 = 6k + 9 \(⋮\) 3 \(\Rightarrow\) A = n(2n + 7)(7n + 1) \(⋮\) 3

+) n = 3k + 2 (k \(\in\) N): Khi đó 7n + 1 = 7(3k + 2) + 1 = 21k + 15 \(⋮\) 3 \(\Rightarrow\) A = n(2n + 7)(7n + 1) \(⋮\) 3

Từ đó suy ra A = n(2n + 7)(7n + 1) \(⋮\) 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A \(⋮\) 6 (đpcm)