Question

a ) Chứng minh rằng với \(n\in N\)* , thì 

  \(A=n^5-5n^3+4n\) chia hết cho \(120\)

b ) Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là số chính phương .

Answer 1

Ta có :

\(A=n^5-5n^3+4n=n\left(n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

chia hết cho \(2,3,4,5.\)

b ) Cần chứng minh 

\(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1,n\in N\)*

là một số chính phương .

Ta có : \(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)

Đặt :   \(n^2+3n=y\) thì 

            \(A=y\left(y+2\right)+1=y^2+2y+1\left(y+1\right)^2\)

         \(\Rightarrow A=\left(n^2+3n+1\right)^2,n\in N\)*