Question

Chứng minh rằng: \(\sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}+\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}}\) là các số nguyên

Answer 1

Đặt A=\(\sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}+\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}}\)

\(\Rightarrow\) \(A^3\) =18-\(5\sqrt{13}\) +18+\(5\sqrt{13}\) +3A\(\sqrt[3]{18^2-\left(5\sqrt{13}\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\) A³=36-3A\(\Leftrightarrow\) A³+3A-36=0\(\Leftrightarrow\) (A-3)(A²-3A+12)=0

Do A²-3A+12>0\(\forall\) A suy ra A-3=0 suy ra A=3

Vậy \(\sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}+\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}}\) là số nguyên