Câu 1:Chứng minh với mọi \(x\ge0;x\ne4\)thì biểu thức Q=\(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x+4}}\)không thể nhận giá trị nguyên
Câu 2:Giải các phương trình sau:
a)\(4x^2+11x+18=8\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2+2x+3\right)}\)
b)\(3x^2-11x-22=7\sqrt{\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x-7\right)}\)
Câu 3:Giải các hệ phương trình:
a)\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)+y\left(x^2-5\right)=xy^2-5x\\4x\sqrt{y+3}+2\sqrt{2x-1}=4y^2+3x+3\end{matrix}\right.\)
b)\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+1}.\left(2x+3\right)-2y=y^3\\\sqrt{2x+13}+5=3y+\sqrt{2x+6}\end{matrix}\right.\)
Câu 4:Giả sử (x;y) là các số thực thỏa mãn:
\(\left(x+\sqrt{3+x^2}\right).\left(y+\sqrt{3+y^2}\right)=9\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^2+xy+y^2\)
Câu 1: Đề bài sai, với điều kiện đề bài đã cho thì Q vẫn nguyên tại \(x=0\), đề bài đúng phải là \(\forall x>0\) thì Q không nguyên (ko hiểu sao lại có điều kiện \(x\ne4\) , cái này hoàn toàn ko ảnh hưởng gì tới bài toán)
\(A=Q^2=\frac{x+4\sqrt{x}+4}{x+4}\Leftrightarrow Ax+4A=x+4\sqrt{x}+4\)
\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)x-4\sqrt{x}+4A-4=0\)
\(\Delta'=4-\left(4A-4\right)\left(A-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow=-A^2+2A\ge0\Rightarrow0\le A\le2\Rightarrow A\le2\)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{2}< 2\)
Mặt khác ta có \(\sqrt{x}+2=\sqrt{x}+\sqrt{4}>\sqrt{x+4}\)
\(\Rightarrow Q=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x+4}}>1\) \(\Rightarrow1< Q< 2\Rightarrow Q\) không thể nhận giá trị nguyên
Câu 2: ĐKXĐ: \(x\ge-2\)
a/ \(\Leftrightarrow4\left(x^2+2x+3\right)+3\left(x+2\right)=8\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2+2x+3\right)}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=a\ge0\\\sqrt{x^2+2x+3}=b>0\end{matrix}\right.\) ta được:
\(3a^2-8ab+4b^2=0\Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(3a-2b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2b\\3a=2b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^2+2x+3}\\3\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^2+2x+3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x^2+7x+10=0\left(vn\right)\\4x^2-x-6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{97}}{8}\)
b/ ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x\ge7\\-5\le x\le-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow3x^2-11x-22=7\sqrt{\left(x^2-5x-14\right)\left(x+5\right)}\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2-5x-14\right)+4\left(x+5\right)-7\sqrt{\left(x^2-5x-14\right)\left(x+5\right)}=0\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-5x-14}=a\ge0\\\sqrt{x+5}=b\ge0\end{matrix}\right.\) ta được:
\(3a^2-7ab+4b^2=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(3a-4b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\3a=4b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-5x-14}=\sqrt{x+5}\\3\sqrt{x^2-5x-14}=4\sqrt{x+5}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-6x-19=0\\9x^2-61x-206=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=...\)
Câu 3:
a/ ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\frac{1}{2}\\y\ge-3\end{matrix}\right.\)
Biến đổi pt đầu:
\(x^3+xy^2-yx^2-y^3+yx^2-5y-xy^2+5x=0\)
\(\Leftrightarrow x^3-y^3+5\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+5\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\) (do \(x^2+xy+y^2+5=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+5>0\))
Thay vào pt dưới:
\(4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}=4x^2+3x+3\)
\(\Leftrightarrow4x^2-4x\sqrt{x+3}+x+3+2x-1-2\sqrt{2x-1}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-\sqrt{x+3}\right)^2+\left(\sqrt{2x-1}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-\sqrt{x+3}=0\\\sqrt{2x-1}-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1\)
b/ ĐKXD: \(x\ge-\frac{1}{2}\)
Biến đổi pt đầu: đặt \(\sqrt{2x+1}=a\Rightarrow2x+3=a^2+2\)
\(\Rightarrow a\left(a^2+2\right)-2y-y^3=0\)
\(\Leftrightarrow a^3-y^3+2\left(a-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-y\right)\left(a^2+ay+y^2+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=y\) \(\Leftrightarrow\sqrt{2x+1}=y\)
Thế vào pt dưới:
\(\sqrt{2x+13}+5=3\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x+6}\)
\(\Leftrightarrow3\left(\sqrt{2x+1}-2\right)+\sqrt{2x+6}-3+4-\sqrt{2x+13}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3\left(2x-3\right)}{\sqrt{2x+1}+2}+\frac{2x-3}{\sqrt{2x+6}+3}-\frac{2x-3}{\sqrt{2x+3}+4}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right)\left(\frac{3}{\sqrt{2x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{2x+6}+3}-\frac{1}{\sqrt{2x+3}+4}\right)=0\)
Dễ thấy \(\sqrt{2x+1}< \sqrt{2x+3}\Rightarrow\sqrt{2x+1}+2< \sqrt{2x+3}+4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2x+1}+2}>\frac{1}{\sqrt{2x+3}+4}\Rightarrow\frac{3}{\sqrt{2x+1}+2}>\frac{1}{\sqrt{2x+3}+4}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{\sqrt{2x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{2x+6}+3}-\frac{1}{\sqrt{2x+3}+4}>0\)
Vậy \(2x-3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}\Rightarrow y=\sqrt{2x+1}=2\)
Câu 4:
\(\Leftrightarrow xy+x\sqrt{3+y^2}+y\sqrt{3+x^2}+\sqrt{\left(3+x^2\right)\left(3+y^2\right)}=9\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{3+y^2}+y\sqrt{3+x^2}=9-xy-\sqrt{\left(3+x^2\right)\left(3+y^2\right)}\)
Bình phương 2 vế và rút gọn ta được (ko ghi rõ đoạn khai triển vì quá dài, bạn tự bình phương ra nháp)
\(5-xy-\sqrt{\left(3+x^2\right)\left(3+y^2\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow5-xy=\sqrt{\left(3+x^2\right)\left(3+y^2\right)}\)
\(\Rightarrow x^2y^2-10xy+25=9+3\left(x^2+y^2\right)+x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2+3y^2+10xy-16=0\)
\(\Rightarrow xy=\frac{16-3\left(x^2+y^2\right)}{10}\)
Mặt khác \(2xy\le x^2+y^2\Rightarrow3\left(x^2+y^2\right)+5\left(x^2+y^2\right)-16\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\)
\(\Rightarrow P=x^2+y^2+\frac{16-3\left(x^2+y^2\right)}{10}=\frac{7\left(x^2+y^2\right)+16}{10}\ge\frac{7.2+16}{10}=3\)
\(\Rightarrow P_{min}=3\) khi \(x=y=1\)
