Đặt f(x) = x5 – 3x4 + 5x – 2, ta có:
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩f(−2)=(−2)5−3(−2)4+5(−2)−2<0f(0)=−2<0f(1)=1−3+5−2=1>0f(2)=25−3.24+5.2−2=−8<0f(2)=35−3.34+5.3−2=13<0⇒⎧⎪⎨⎪⎩f(0).f(1)<0(1)f(1).f(2)<0(2)f(2).f(3)<0(3){f(−2)=(−2)5−3(−2)4+5(−2)−2<0f(0)=−2<0f(1)=1−3+5−2=1>0f(2)=25−3.24+5.2−2=−8<0f(2)=35−3.34+5.3−2=13<0⇒{f(0).f(1)<0(1)f(1).f(2)<0(2)f(2).f(3)<0(3)
_ Hàm số f(x) là hàm số đa thức liên tục trên R.
⇒ Hàm số f(x) liên tục trên các đoạn [0, 1], [1, 2], [2, 3] (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) ⇒ phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng (0, 1), (1, 2), (2, 3).
Vậy phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm trên khoảng (-2, 5) (đpcm)
Đặt \(f\left(x\right)=x^5-3x^4+5x-2\).
\(f\left(-2\right)=\left(-2\right)^5-3.\left(-2\right)^4+5.\left(-2\right)-2=-56< 0\).
\(f\left(0\right)=-2< 0\).
\(f\left(1\right)=1^5-3.1^4+5.1-2=1>0\).
\(f\left(2\right)=2^5-3.2^4+5.2-2=-8< 0\).
\(f\left(3\right)=3^5-3.3^4+5.3-2=13>0\).
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\\f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\\f\left(2\right).f\left(3\right)< 0\end{matrix}\right.\).
Hàm số đã cho là hàm đa thức nên liên tục trên R.
Suy ra hàm số liên tục trên các đoạn: \(\left[0;1\right];\left[1;2\right];\left[2;3\right]\) nên phương trình \(x^5-3x^4+5x-2=0\) có ít nhất một nghiệm trên các khoảng \(\left(0;1\right);\left(1;2\right);\left(2;3\right)\).
