Lời giải:
Ta có:
\(4m^2+m=5n^2+n\)
\(\Leftrightarrow 5m^2+m=5n^2+n+m^2\)
\(\Leftrightarrow 5(m^2-n^2)+(m-n)=m^2\)
\(\Leftrightarrow (m-n)(5m+5n+1)=m^2\)
Đặt $d$ là ước chung lớn nhất của $m-n$ và $5m+5n+1$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m-n\vdots d\\ 5m+5n+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m^2=(m-n)(5m+5n+1)\vdots d^2\\ 5(m-n)+(5m+5n+1)\vdots d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\vdots d\\ 10m+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1\)
Vậy $m-n, 5m+5n+1$ nguyên tố cùng nhau. Mà tích của chúng là 1 số chính phương nên bản thân $m-n, 5m+5n+1$ cũng là các số chính phương (đpcm).
