a, \(x^2=7\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2}=\sqrt{7}\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{7}\left(\circledast\right)\)
Giả sử \(\sqrt{7}\) là 1 số hữu tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{7}=\frac{a}{b}\left(\left\{{}\begin{matrix}a;b\in Z\\b\ne0\\\text{ƯCLN}\left(a;b\right)=1\end{matrix}\right.\right)\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{7}\cdot b\\ \Rightarrow a^2=7\cdot b^2\\ \Rightarrow a^2⋮7\Rightarrow a⋮7\left(1\right)\\ \Rightarrow a=7k\left(k\in Z\right)\)
Khi đó ta có: \(\left(7k\right)^2=7\cdot b^2\\ \Rightarrow49\cdot k^2=7\cdot b^2\\ \Rightarrow7\cdot k^2=b^2\\ \Rightarrow b^2⋮7\\ \Rightarrow b⋮7\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow a;b⋮7\)
\(\Rightarrow\) Điều giả sử là sai
\(\Rightarrow\sqrt{7}\) không là số hữu tỉ
Thay vào \(\left(\circledast\right)\) \(\Rightarrow\) x không phải là số hữu tỉ (đpcm)
