Question

Chứng minh rằng \(\dfrac{n-5}{3n-14}\) là phân số tối giản với mọi số nguyên n.

Answer 1

Gọi d là \(ƯC\left\{n-5;3n-14\right\}\) với \(d\ne0\)

\(\Rightarrow\left(n-5\right)-\left(3n-14\right)⋮d\)

\(\Rightarrow3\left(n-5\right)-\left(3n-14\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\left(3n-15\right)-\left(3n-14\right)⋮d\)

\(\Rightarrow15-14⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\RightarrowƯ\left(d\right)\in\left\{1;-1\right\}\)

Vì Ư(d)\(\in\)\(\left\{1;-1\right\}\) nên \(\RightarrowƯ\left(n-5;3n-14\right)\in\left\{1;-1\right\}\)

\(\RightarrowƯ\left(\dfrac{n-5}{3n-14}\right)\in\left\{1;-1\right\}\)

Vì ước của phân số \(\dfrac{n-5}{3n-14}\) là 1 hoặc -1 nên phân số \(\dfrac{n-5}{3n-14}\) là phân số tối giản.

Answer 2

Gọi d là ƯCLN(n - 5; 3n - 14) (d thuộc N*)

=> n - 5 \(⋮\) d

3n - 14 \(⋮\) d

=> 3n - 15 \(⋮\) d

3n - 14 \(⋮\) d

=> 1 \(⋮\) d (lấy dưới trừ trên)

Vì d thuộc N*; 1 \(⋮\) d => d = 1

Vì ƯCLN(n - 5;3n-14) = 1

=> n - 5; 3n - 14 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> phân số n-5/3n - 14 là phân số tối giản

=> đpcm

Chúc bạn học tốt