Question

chứng minh rằng :

a, \(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)\) chia hết cho 6 với số a nguyên

b, a(2a-3)-2a(a+1) chia hết cho 5 với a là số nguyên

c,\(x^2-x+1>0\) với mọi \(x\)

d,\(-x^2+4x-5< 0\)với mọi \(x\)

Answer 1

a) a²(a+1)+2a(a+1) =(a+1)(a²+2a)=(a+1)(a+2)a

3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 => đpcm

b) a(2a-3)-2a(a+1) = a[(2a-3)-2(a+1)] =a(2a-3-2a-2)

= -5a ⋮ 5 (đpcm)

c) \(x^2-x+1=x^2-2.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)Do \(\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^2\ge0\forall x\)

=> \(\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\) (đpcm)

d) \(-\left(x^2-4x+5\right)=-\left(x^2-4x+4+1\right)=-\left(x-2\right)^2-1\)Do - (x-2)² ≤ 0 với mọi x

=> -(x-2)²-1 <0 (đpcm)