Question

chứng minh \(\dfrac{n}{12}+\dfrac{n^2}{8}+\dfrac{n^3}{24}\in Z\) với\(\forall n=2k\)

Answer 1

\(\dfrac{n}{12}+\dfrac{n^2}{8}+\dfrac{n^3}{24}\)

\(=\dfrac{n^3+3n^2+2n}{24}=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\)

Ta có: \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3.

Vì \(n=2k\) nên suy ra n và (n + 2) là 2 số chẵn liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 4.

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮8\)

Vì 3 và 8 nguyên tố cùng nhau nên: \(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮24\)

Vậy ta có ĐPCM