\(H=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{3+xy+yz+xz}=\dfrac{9}{3+xy+yz+xz}\)
Mặt khác,theo AM-GM: \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2=3\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+xy+yz+xz}\ge\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" khi: \(x=y=z=1\)
Cho x, y, z thỏa mãn : \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\). Cmr :
\(\dfrac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}+\dfrac{y}{\sqrt{zx\left(1+y^2\right)}}+\dfrac{z}{\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}}\ge\dfrac{3}{2}\).
ta có \(A=\dfrac{1}{1+\dfrac{bc}{a}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{ca}{b}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{ab}{c}}\)
đặt \(\sqrt{\dfrac{bc}{a}};\sqrt{\dfrac{ca}{b}};\sqrt{\dfrac{ab}{c}}=\left(x;y;z\right)\) =>xy+yz+zx=1
ta có A=\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\)
ta cần chứng minh \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\ge\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow1-\dfrac{1}{x^2}+1-\dfrac{1}{1+y^2}+1-\dfrac{1}{z^2+1}\le\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{x^2+1}+\dfrac{y^2}{y^2+1}+\dfrac{z^2}{z^2+1}\ge\dfrac{3}{4}\)
mà \(\dfrac{x^2}{x^2+1}+\dfrac{y^2}{y^2+1}+\dfrac{z^2}{z^2+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3}=\dfrac{x^2+y^2+z^2+2}{x^2+y^2+z^2+3}=1-\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2+3}\ge\dfrac{3}{4}\)
=> BĐT cầnd chứng minh luôn đúng
Cho biểu thức A=\(\dfrac{xy+2y+1}{xy+x+y+1}+\dfrac{yz+2z+1}{yz+y+z+1}+\dfrac{zx+2x+1}{zx+z+x+1}\) với x,y,z là các số thực có giá trị khác -1. Chứng minh A nguyên
cho \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0.\) Tính : \(A=\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{zx}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}\)
Cho \(x,y,z\ne-1\). Giá trị của biểu thức \(A=\dfrac{xy+2x+1}{xy+x+y+1}+\dfrac{yz+2y+1}{yz+y+z+1}+\dfrac{zx+2x+1}{zx+x+z+1}\).
Đây là một số bất đẳng thức trích từ một số đề thi vào chuyên,rất mong nhận được lời giải từ mọi người :
Bài 1:Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z=1
Tìm Max Q= \(\dfrac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{y+zx}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\)
Bài 2:Cho x,y,z>0 thỏa mãn :x+y+z=1
Chứng minh:\(\dfrac{1-x^2}{x+yz}+\dfrac{1-y^2}{y+zx}+\dfrac{1-z^2}{z+xy}\ge6\)
Bài 3:Cho x,y,z>8
Tìm Min P=\(\dfrac{x}{\sqrt{y+z}-4}+\dfrac{y}{\sqrt{z+x}-4}+\dfrac{z}{\sqrt{x+y}-4}\)
Bài 4: Cho a,b,c>0 thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=1
CMR: ab+bc+ca\(\le\dfrac{3}{4}\)
cho xyz =3 tính A=\(\dfrac{x}{xy+x+3}+\dfrac{y}{yz+y+1}+\dfrac{z}{zx+z+3}\)
Chứng minh rằng : \(\dfrac{x^8+y^8+z^8}{x^3 y^3 z^3}\) ≥ \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \) với x, y ,z > 0 .
Cho x, y, z>0. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{x}{x+2y+3z}+\dfrac{y}{y+2z+3x}+\dfrac{z}{z+2x+3y}\ge\dfrac{1}{2}\)
