Question

Chứng minh \(\dfrac{a^3+b^3}{2}>=\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\)vs a>=0 ,b>=0

Answer 1

Biến đổi tương đương:

\(\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)

\(\Leftrightarrow4a^3+4b^3\ge a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng do \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge0;b\ge0\Rightarrow a+b\ge0\\\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\end{matrix}\right.\) )

Vậy BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)