Giải:
Gọi \(ƯCLN\left(12n+1;30n+2\right)=d\)
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}5\left(12n+1\right)⋮d\\2\left(30n+2\right)⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}60n+5⋮d\\60n+4⋮d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left(60n+5\right)-\left(60n+4\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
Vậy \(\frac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản (Đpcm)
Làm theo khả năng mặc dù .... lớp năm :)
Giả sử phân số \(\dfrac{12n+1}{30n+2}\) không tối giản
Đặt a là ƯCLN (12n + 1 ; 30n + 2) nghĩa là nếu a = ƯCLN ( 12n + 1 ; 30n + 2 ) thì a > 1 (*)
Ta có : ( 12n + 1 ) chia hết cho a ; ( 30n + 2 ) chia hết cho a
=> 5. ( 12n + 1 ) - 2. ( 30n + 2 ) chia hết cho a
=> 60n + 5 - 60n - 4 chia hết cho a
=> 1 chia hết cho d, mâu thuẫn với (*)
Do đó phân số \(\dfrac{12n+1}{30n+2}\) tối giản
Gọi \(d\) là \(UCLN\left(12n+1;30n+2\right)\) nên ta có:
\(12n+1⋮d\) và \(30n+2⋮d\)
\(\Leftrightarrow5\left(12n+1\right)⋮d\) và \(2\left(30n+2\right)⋮d\)
\(\Leftrightarrow60n+5⋮d\) và \(60n+4⋮d\)
\(\Rightarrow\left(60n+6\right)-\left(60n+4\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
Vì \(d=1\Rightarrow\frac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản. \(\left(dpcm\right)\)
gọi UCLN(12n+1,30n+2)là d
Ta có:12n+1 chia hết cho d suy ra (12n+1).5chia hết cho d 30n+2 chia hết cho d suy ra (30n+2).2 chia hết cho d suy ra 60n+5 và 60n+4 chia hết cho d suy ra 1chia hết cho d và d=1
Vậy phân số trên tối giản
Gọi d \(\inƯ\left(12n+1;30n+2\right)\)
thì 12n + 1 \(⋮\) d và 30n + 2 \(⋮\) d
\(\Rightarrow\)5(12n + 1 ) \(⋮\) d và 2(30n + 2 ) \(⋮\) d
\(\Rightarrow\) [ 5(12n + 1 ) - 2(30n + 2 ) ]\(⋮d\)
60n + 5 - 60n - 4 \(⋮d\)
1 \(⋮d\)
\(\Rightarrow d\in\left\{1;-1\right\}\)
Vậy \(\dfrac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản.
