1.
Gọi d là ước chung lớn nhất của 12n+1 và 30n+2\(\left(d\in N\right)\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}60n+5⋮d\\60n+6⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(60n+6\right)-\left(60n+5\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow\left(12n+1;30n+2\right)=1\)
Vậy \(\forall n\in N\) thì phân số \(\dfrac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản
2.
Gọi d là ước chung nguyên tố của 4n+5 và 5n+4 (vì để phân số này rút gọn được thì chúng phải có ước chung nguyên tố) (\(d\in N\))
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}4n+5⋮d\\5n+4⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n+25⋮d\\20n+16⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(20n+25\right)-\left(20n+16\right)⋮d\)
\(\Rightarrow9⋮d\)
\(\Rightarrow d\in\left\{\pm1;\pm3;\pm9\right\}\)
Vì \(d\in N\) và d là số nguyên tố nên d = 3.
Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}4n+5⋮d\\5n+4⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+5⋮3\\5n+4⋮3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+5-9⋮3\\5n+4-9⋮3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n-4⋮3\\5n-5⋮3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4\left(n-1\right)⋮3\\5\left(n-1\right)⋮3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow n-1⋮3\) {Vì (4;3) = 1 và (5;3) = 1}
\(\Rightarrow n-1=3k\left(k\in Z\right)\) ( Do \(n\in Z\))
\(\Rightarrow n=3k+1\)
Vậy để phân số \(\dfrac{4n+5}{5n+4}\) rút gọn được thì n có dạng là 3k+1
