Question

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) \(sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha=\dfrac{1}{4}sin^2\left(2\alpha\right)\)

b) \(\dfrac{cos\left(\alpha-\beta\right)}{sin\alpha\cdot sin\beta}=\dfrac{1}{tg\alpha\cdot tg\beta}+1\)

c) \(cos^2\alpha\left(tg^2\alpha+1\right)=1\)

d) \(tg\alpha+1=\dfrac{sin\alpha+cos\alpha}{cos\alpha}\)

Answer 1

a) \(sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha=\left(sin\alpha\cdot cos\alpha\right)^2=\left[\dfrac{1}{2}sin\left(2\alpha\right)\right]^2=\dfrac{1}{4}sin^2\left(2\alpha\right)\)

b) \(\dfrac{cos\left(\alpha-\beta\right)}{sin\alpha\cdot sin\beta}=\dfrac{cos\alpha\cdot cos\beta+sin\alpha\cdot sin\beta}{sin\alpha\cdot sin\beta}=\dfrac{cos\alpha\cdot cos\beta}{sin\alpha\cdot sin\beta}+\dfrac{sin\alpha\cdot sin\beta}{sin\alpha\cdot sin\beta}=\dfrac{1}{tg\alpha\cdot tg\beta}+1\)

c) \(cos^2\alpha\left(tg^2\alpha+1\right)=cos^2\alpha\cdot tg^2\alpha+cos^2\alpha=sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\)

d) \(tg\alpha+1=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}+1=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}+\dfrac{cos\alpha}{cos\alpha}=\dfrac{sin\alpha+cos\alpha}{cos\alpha}\)

Answer 2

- Mình chỉ chứng minh một cái thôi, mấy cái sau bạn tách ra thành từng câu hỏi nhé.

a) - Dựng \(\Delta ABC\) vuông tại A, lấy M là trung điểm BC.

\(\Rightarrow AM=BM=CM=\dfrac{1}{2}BC\).

\(\Rightarrow\Delta AMC\) cân tại M \(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{CAM}\)

- Đặt \(\widehat{C}=\widehat{CAM}=\alpha\).

- \(\widehat{AMB}\) là góc ngoài \(\Delta AMC\) đỉnh B.

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{C}+\widehat{CAM}=2\alpha\)

- Hạ đường cao \(AH\) của \(\Delta ABC\).

-\(\Delta ABH\) vuông tại H có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sin\alpha=\dfrac{AH}{AC}\\\cos\alpha=\dfrac{CH}{AC}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sin\alpha.\cos\alpha=\dfrac{AH.CH}{AC^2}\).

Theo hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại A có AH là đường cao, ta có:

\(CH.BC=AC^2\)

\(\Rightarrow\sin\alpha.\cos\alpha=\dfrac{AH.CH}{BC.CH}=\dfrac{AH}{BC}\left(1\right)\)

- \(\Delta AHM\) vuông tại M có:

\(\sin2\alpha=\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{AH}{\dfrac{AM}{2}}\Rightarrow\dfrac{1}{2}\sin2\alpha=\dfrac{AH}{BC}\left(2\right)\)

- Từ (1), (2) \(\Rightarrow\sin\alpha.\cos\alpha=\dfrac{1}{2}\sin2\alpha\)

\(\Rightarrowđpcm\)