Question

Chứng minh 2 số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau

Answer 1

+Gọi 2 số đó là a, b \(\left(a,b>0\right)\)

+Có: a, b ko đổi 

+Cần cm: \(\left(a+b\right)_{min}\Leftrightarrow a=b\)

+Có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\\ \Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\ \Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\\ \Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\\ \Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\\ \Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Có: \(\left(a+b\right)_{min}=2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\a+b=2\sqrt{ab}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a=b=\sqrt{ab}\left(đpcm\right)\)