Câu hỏi của Hồ Phương Gia Hân

Question

Cho▲ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Vẽ AH vuông góc với BC. Từ H, kẻ HM ⊥ AB và HN ⊥ AC (H ∈ BC, M ∈ AB, N ∈ AC). Vẽ đường kính AE cắt MN tại I, tia MN cắt (O;R) tại K.

Chứng minh:

a) Tứ giác AMHN nội tiếp

b) AM.AB=AN.AC

c) AE ⊥ MN

Chứng...

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

a)

$HM\perp AB; HN\perp AC\Rightarrow \widehat{HMA}=\widehat{HNA}=90^0$

Xét tứ giác $AMHN$ có tổng 2 góc đối $\widehat{HMA}+\widehat{HNA}=90^0+90^0=180^0$ nên $AMHN$ là tứ giác nội tiếp (đpcm)

b)

Vì $AMHN$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{AHN}$

Mà $\widehat{AHN}=\widehat{ACB}(=90^0-\widehat{NHC})$

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{ACB}$

Xét tam giác $AMN$ và $ACB$ có:

$\left\{\begin{matrix}
\widehat{A}-\text{chung}\
\widehat{AMN}=\widehat{ACB}(cmt)\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AMN\sim \triangle ACB(g.g)$

$\Rightarrow \frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow AM.AB=AC.AN$ (đpcm)

c)

Ta có: $\widehat{ACB}=\widehat{AEB}$ (góc nội tiếp chắn cung $AB$)

$\widehat{ACB}=\widehat{AMN}$ (cmt)

$\Rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{AMN}$

$\Leftrightarrow \widehat{IEB}=180^0-\widehat{BMI}$

$\Leftrightarrow \widehat{IEB}+\widehat{BMI}=180^0$, do đó tứ giác $BMIE$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{MIE}=180^0-\widehat{MBE}=180^0-90^0=90^0$ ($\widehat{MBE}=\widehat{ABE}=90^0$ vì là góc nt chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow MN\perp AE$ . Ta có đpcm.Câu trả lời: Lời giải:

a)