Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hoa Hồng Nhung

cho x,y,z>0 và x+y+z=\(\sqrt{3}\)

tìm GTNN \(A=\dfrac{1}{\sqrt{x\left(y+2z\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{y\left(z+2x\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{z\left(x+2y\right)}}\)

 Mashiro Shiina
19 tháng 10 2018 lúc 19:07

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:

\(A=\dfrac{1}{\sqrt{x\left(y+2z\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{y\left(z+2x\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{z\left(x+2y\right)}}\)

\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\sqrt{x\left(y+2z\right)}+\sqrt{y\left(z+2x\right)}+\sqrt{z\left(x+2y\right)}}\)

\(=\dfrac{9}{\sqrt{x\left(y+2z\right)}+\sqrt{y\left(z+2x\right)}+\sqrt{z\left(x+2y\right)}}\)

Áp dụng liên tiếp Bunyakovsky và AM-GM:

\(\left(\sqrt{x\left(y+2z\right)}+\sqrt{y\left(z+2x\right)}+\sqrt{z\left(x+2y\right)}\right)^2\)

\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[x\left(y+2z\right)+y\left(z+2x\right)+z\left(x+2y\right)\right]\)

\(=3.3\left(xy+yz+xz\right)\)

\(3\left(xy+yz+xz\right)\le\left(x+y+z\right)^2=3\)

\(3.3\left(xy+yz+xz\right)\le3.3=9\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x\left(y+2z\right)}+\sqrt{y\left(z+2x\right)}+z\sqrt{\left(x+2y\right)}\le\sqrt{9}=3\)

\(\Leftrightarrow A\ge\dfrac{9}{3}=3."="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)


Các câu hỏi tương tự
Đinh Thị Ngọc Anh
Xem chi tiết
Neet
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Huyen Nguyen
Xem chi tiết
Đặng Minh An
Xem chi tiết
Dương Thanh Ngân
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Trúc Giang
Xem chi tiết
Alisa Chuppy
Xem chi tiết