Question

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn: x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = \(\sqrt{x^2+xy+y^2}\) + \(\sqrt{y^2+yz+z^2}\) + \(\sqrt{z^2+zx+z^2}\)

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x^2+2xy+y^2)+\frac{1}{4}(x^2-2xy+y^2)\)

\(=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2\geq \frac{3}{4}(x+y)^2\)

Suy ra : \(\sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}(x+y)}{2}\)

Thực hiện tương tự với các biểu thức còn lại ta có:

\(M\geq \frac{\sqrt{3}(x+y)}{2}+\frac{\sqrt{3}(y+z)}{2}+\frac{\sqrt{3}(z+x)}{2}=\sqrt{3}(x+y+z)\)

\(\Leftrightarrow M\geq \sqrt{3}\Leftrightarrow M_{\min}=\sqrt{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)