Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Trần

Cho x,y,z > 0 , x+y+z=3 Tìm GTNN của \(P=\sqrt{\dfrac{x^3}{y+3}}+\sqrt{\dfrac{y^3}{z+3}}+\sqrt{\dfrac{z^3}{x+3}}\)

 Mashiro Shiina
3 tháng 12 2018 lúc 20:59

\(P=\sqrt{\dfrac{x^3}{y+3}}+\sqrt{\dfrac{y^3}{z+3}}+\sqrt{\dfrac{z^3}{x+3}}\)

\(=\dfrac{x^2}{\sqrt{x\left(y+3\right)}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{y\left(z+3\right)}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{z\left(x+3\right)}}\)

\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\sqrt{x\left(y+3\right)}+\sqrt{y\left(z+3\right)}+\sqrt{z\left(x+3\right)}}\)

Xét:

\(\left(\sqrt{x\left(y+3\right)}+\sqrt{y\left(z+3\right)}+\sqrt{z\left(x+3\right)}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(xy+3x+yz+3y+xz+3z\right)\)

\(=3\left(9+xy+yz+xz\right)\)

\(=27+3\left(xy+yz+xz\right)\le27+\left(x+y+z\right)^2=36\)

\(\Rightarrow\sqrt{x\left(y+3\right)}+\sqrt{y\left(z+3\right)}+\sqrt{z\left(x+3\right)}\le6\)
\(P\ge\dfrac{3}{2}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)


Các câu hỏi tương tự
vung nguyen thi
Xem chi tiết
Đức Anh Gamer
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
vung nguyen thi
Xem chi tiết
Đỗ Thị Ánh Nguyệt
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Gió
Xem chi tiết
TXT Channel Funfun
Xem chi tiết
Gió
Xem chi tiết