Question

Cho x,y là các số dương thỏa mãn: x + y = 4

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x² + y² + \(\dfrac{33}{xy}\)

Answer 1

• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz, ta có:

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=4^2=16\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge8\)

• Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:

\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow xy\le\dfrac{4^2}{4}=4\)

• Suy ra, ta có: \(P=x^2+y^2+\dfrac{33}{xy}\ge8+\dfrac{33}{4}=\dfrac{65}{4}\)

• Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)

Vậy \(P_{min}=\dfrac{65}{4}\Leftrightarrow x=y=2\)