Bình thường thì em hay làm cách này(dù ko chắc nhưng vẫn thử đăng:))
\(A=\frac{\left(2x\right)^2}{4}+\frac{\left(3y\right)^2}{9}\ge\frac{\left(2x+3y\right)^2}{4+9}=\frac{5^2}{13}=\frac{25}{13}\)
Đẳng thức xảy ra khi ....
Làm theo cách thông thường cho chắc ăn:v
Xét hiệu: \(A-\frac{\left(2x+3y\right)^2}{13}=\frac{9x^2+4y^2-12xy}{13}=\frac{\left(3x-2y\right)^2}{13}\ge0\)
Do đó \(A\ge\frac{\left(2x+3y\right)^2}{13}=\frac{25}{13}\). Đẳng thức xảy ra khi 3x = 2y và 2x + 3y =5
Giải ra ta thu được \(x=\frac{10}{13};y=\frac{15}{13}\)
Vậy....
Lý giải tại sao em lại xét hiệu như trên:
Đầu tiên ta giả sử \(A\ge a\left(2x+3y\right)^2\) (a >0)
\(\Leftrightarrow\left(1-4a\right)x^2-12axy+\left(1-9a\right)y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-4a\right)\left(x-\frac{6ay}{1-4a}\right)^2+\left(1-9a\right)y^2-\frac{36a^2y^2}{\left(1-4a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-4a\right)\left(x-\frac{6ay}{1-4a}\right)^2+\left[\left(1-9a\right)-\frac{36a^2}{\left(1-4a\right)}\right]y^2\ge0\)
Đến đây ý tưởng của em đã khá rõ ràng, ta chọn a thỏa mãn: 1 - 4a > 0 và:
\(\left(1-9a\right)-\frac{36a^2}{\left(1-4a\right)}=0\Rightarrow a=\frac{1}{13}\)
Như vậy em mới có được cách phân tích bên trên:) Đó là công việc ngoài nháp:) Vô bài làm em nghĩ chỉ cần trình bày như ban nãy là được:D
