Ôn tập toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hoàng Phúc

Cho x,y > 0;x+y=2

CMR: \(P=x^2.y^2.\left(x^2+y^2\right)\) < 2

Hiền Nguyễn
17 tháng 6 2016 lúc 19:41

áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương x, y ta được:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\ge xy\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{2}{2}\right)^2\ge xy\Leftrightarrow1\ge xy\)

ta có : \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=4-2xy\le4-2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\le2\)  (1)

áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương x2,y2 ta được:

\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)^2\ge x^2y^2\)

mà \(\left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)^2\le\left(\frac{2}{2}\right)^2=1\)

nên: \(x^2y^2\le1\)  (2)

nhân 1 và 2 vế theo vế ta được:

\(x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\le2\)

dấu "='' xảy ra khi và chỉ khi x=y=1

 


Các câu hỏi tương tự
Pun Cự Giải
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Phượng
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mỹ Lệ
Xem chi tiết
Hoàng Phúc
Xem chi tiết
Hà Phương
Xem chi tiết
Huỳnh Giang
Xem chi tiết
Mai Thị Phương Linh
Xem chi tiết
Little Girl
Xem chi tiết
Pun Cự Giải
Xem chi tiết