\(A=\dfrac{x^2-xy+2y^2}{1}=\dfrac{x^2-xy+2y^2}{x^2+xy+y^2}\)
Với \(y=0\Rightarrow A=1\)
Với \(y\ne0\), chia cả tử và mẫu của vế phải cho \(y^2\Rightarrow A=\dfrac{\left(\dfrac{x}{y}\right)^2-\dfrac{x}{y}+2}{\left(\dfrac{x}{y}\right)^2+\dfrac{x}{y}+1}\)
Đặt \(\dfrac{x}{y}=a\Rightarrow A=\dfrac{a^2-a+2}{a^2+a+1}\Leftrightarrow A.a^2+A.a+A=a^2-a+2\)
\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)a^2+\left(A+1\right)a+A-2=0\)
\(\Delta=\left(A+1\right)^2-4\left(A-1\right)\left(A-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3A^2+14A-7\ge0\Rightarrow\dfrac{7-2\sqrt{7}}{3}\le A\le\dfrac{7+2\sqrt{7}}{3}\)
Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}A_{max}=\dfrac{7+2\sqrt{7}}{3}\\A_{min}=\dfrac{7-2\sqrt{7}}{3}\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
Vì $x^2+y^2+xy=1$ nên \(A=x^2-xy+2y^2=\frac{x^2-xy+2y^2}{x^2+y^2+xy}\)
\(\Rightarrow A(x^2+y^2+xy)=x^2-xy+2y^2(1)\)
\(\Leftrightarrow x^2(A-1)+x(Ay+y)+(Ay^2-2y^2)=0(*)\)
Xét $A\neq 1$ , ta coi $(*)$ là pt bậc 2 ẩn $x$. Vì đẳng thức $(1)$ tồn tại nên pt $(*)$ có nghiệm
\(\Rightarrow \Delta=(Ay+y)^2-4(Ay^2-2y^2)(A-1)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow -3A^2y^2+14Ay^2-7y^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow -3A^2+14A-7\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{7-2\sqrt{7}}{3}\leq A\leq \frac{7+2\sqrt{7}}{3}\). So sánh với giá trị $1$ cuối cùng ta thấy \(A_{\min}=\frac{7-2\sqrt{7}}{3}; A_{\max}=\frac{7+2\sqrt{7}}{3}\)
