Giả sử tồn tại \(x\) sao cho \(x^2+x+1=0\) (ví dụ trên trường số phức)
\(\Leftrightarrow x+1+\frac{1}{x}=0\Rightarrow x+\frac{1}{x}=-1\)
Ta có \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=\left(-1\right)^2\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=-1\)
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^3=\left(-1\right)^3\Leftrightarrow x^3+\frac{1}{x^3}+3\left(x+\frac{1}{x}\right)=-1\Leftrightarrow x^3+\frac{1}{x^3}=2\)
Đặt \(a_n=x^n+\frac{1}{x^n}\Rightarrow a_1=-1;a_2=-1;a_3=2\)
\(a_1.a_n=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)=x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}+x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}=a_{n+1}+a_{n-1}\)
\(\Rightarrow a_{n+1}=a_1.a_n-a_{n-1}=-a_n-a_{n-1}=-\left(a_n+a_{n-1}\right)\)
Thay \(n=3;4;5;6...\) vào ta được:
\(a_4=-\left(a_3+a_2\right)=-1;a_5=-\left(a_4+a_3\right)=-1;a_6=-\left(a_5+a_4\right)=2\)
Nhìn vào quy luật ta thấy: \(a_k=-1\) nếu \(k⋮̸3\)
Và \(a_k=2\) nếu \(k⋮3\)
Do \(2004⋮3\Rightarrow a_{2004}=2\) hay \(x^{2004}+\frac{1}{x^{2004}}=2\)
Giả sử tồn tại \(x\) để thỏa mãn pt trên (trong trường số phức chẳng hạn)
\(x^2+x+1=0\Leftrightarrow x+1+\frac{1}{x}=0\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}=-1\)
Bình phương 2 vế: \(x^2+2+\frac{1}{x^2}=1\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=-1\)
Tiếp tục bình phương: \(x^4+\frac{1}{x^4}+2=1\Rightarrow x^4+\frac{1}{x^4}=-1\)
\(\Rightarrow x^{2k}+\frac{1}{x^{2k}}=-1\) \(\forall k\in Z^+\)
Hay \(x^{2004}+\frac{1}{x^{2004}}=-1\)
Sai ngay từ giả thiết:
Có:\(x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall x\in R\)
Vậy ta ko tính được giá trị biểu thức.
