Question

Cho x>0.Chứng minh \(x+\frac{1}{x}\ge2\)

Áp dụng chứng minh :Nếu abcd=1 và a;b;c;d > 0 thì a²+b²+c²+d²+ab+ac+ad+bc+bd+cd \(\ge\) 10

Answer 1

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\)

Bài 2:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}=4\) (1)

\(ab+cd\ge2\sqrt{abcd}=2\) (2)

\(ac+bd\ge2\sqrt{acbd}=2\) (3)

\(ad+bc\ge2\sqrt{adbc}=2\) (4)

Cộng theo vế của (1),(2),(3),(4) ta có điều phải chứng minh

Dấu "=" khi \(\begin{cases}a=b=c=d\\abcd=1\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

 

Answer 2

1) \(x+\frac{1}{x}\ge2\left(1\right)\)

<=> \(\frac{x^2+1}{x}\ge2\)

<=> x² + 1 \(\ge\)2x

<=> x² + 1 - 2x \(\ge\) 0

<=> (x - 1)² \(\ge\)0 (2)

Bđt (2) đúng vậy bđt (1) được chứng minh

b) Áp dụng bđt AM-GM cho 10 số dương ta có:

a²+b²+c²+d²+ab+ac+ad+bc+bd+cd

\(\ge10\sqrt[10]{a^2.b^2.c^2.d^2.ab.ac.ad.bc.bd.cd}=10\sqrt[10]{\left(a.b.c.d\right)^5}\)

\(=10\sqrt[10]{1}=10\left(đpcm\right)\)