Cho \(\Delta\)ABC phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D trên các đoạn thẳng DB, DC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho góc EAD= góc FAD. Chứng minh rằng: \(\dfrac{BE}{CE}.\dfrac{BF}{CF}=\dfrac{AB^2}{AC^2}\)

cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đường chéo AC trên tia đối của AD lấy điểm E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC tại F, CE cắt AF tại O. Chứng minh \(\Delta\)AEC đồng dạng \(\Delta\)CAF, tính góc EOF

\(2x+\dfrac{3}{4}>5x-\dfrac{3}{2}+1\)

\(\Leftrightarrow2x+\dfrac{3}{2}>5x-\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x-5x>\dfrac{-1}{2}-\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow-3x>\dfrac{-5}{4}\)

\(\Leftrightarrow3x< \dfrac{5}{4}\)

\(\Rightarrow x< \dfrac{5}{12}\)

\(2x+\dfrac{3}{7}>x-\dfrac{5}{4}\)

\(\Leftrightarrow2x-x>\dfrac{-5}{4}-\dfrac{3}{7}\)

\(\Rightarrow x>\dfrac{-47}{28}\)

Xét hai tam giác vuông ABC và tam giác vuông CBD ta có:

góc B chung

góc BAC= góc BCD(=90⁰)

=> tam giác ABC đồng dạng tam giác CBD(g.g)

=>\(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{BC}{BD}\)

Mà: AB=9 cm; AC=12cm

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABC ta có:

\(BC^2=AC^2+AB^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=12^2+9^2\)

\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{225}\)

\(\Rightarrow BC=15\)

Ta có: \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{CD}\Leftrightarrow\dfrac{9}{15}=\dfrac{12}{CD}\Leftrightarrow CD=\dfrac{15\times12}{9}\)

\(\Rightarrow CD=20\left(cm\right)\)

Vậy CD= 20cm

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABC ta có:

\(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\left(1\right)\)

\(\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{BC}{AB}\left(2\right)\)

\(\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{AC}{BC}\left(3\right)\)

Nhân cả hai vế của (1),(2) và (3) ta có:

\(\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{AB}{AC}.\dfrac{BC}{AB}.\dfrac{AC}{BC}=1\)

ĐPCM

\(ĐKXĐ:x\ne-1;x\ne\dfrac{1}{2}\)

Ta có : \(\dfrac{6x+5}{3x+3}=\dfrac{5-4x}{1-2x}\)

\(\Leftrightarrow\left(6x+5\right)\left(1-2x\right)=\left(5-4x\right)\left(3x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow6x-12x^2+5-10x=15x+15-12x^2-12x\)

\(\Leftrightarrow5-4x-12x^2-15-3x+12x^2=0\)

\(\Leftrightarrow-10-7x=0\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{-10}{7}\)

\(\dfrac{x-1}{59}+\dfrac{x-2}{58}+\dfrac{x-3}{57}=\dfrac{x-4}{56}+\dfrac{x-5}{55}+\dfrac{x-6}{54}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{59}-1+\dfrac{x-2}{58}-1+\dfrac{x-3}{57}=\dfrac{x-4}{56}-1+\dfrac{x-5}{55}-1+\dfrac{x-6}{54}-1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-60}{59}+\dfrac{x-60}{58}+\dfrac{x-60}{57}=\dfrac{x-60}{56}+\dfrac{x-60}{55}+\dfrac{x-60}{54}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-60\right)\left(\dfrac{1}{59}+\dfrac{1}{58}+\dfrac{1}{57}-\dfrac{1}{56}-\dfrac{1}{55}-\dfrac{1}{54}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-60=0\)

\(\Rightarrow x=60\)

vậy \(S=\left\{60\right\}\)

\(\dfrac{x-90}{10}+\dfrac{x-76}{12}=\dfrac{x-58}{14}+\dfrac{x-36}{16}+\dfrac{x-15}{17}=15\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x-90}{10}-1\right)+\left(\dfrac{x-76}{12}-2\right)=\left(\dfrac{x-58}{14}-3\right)+\left(\dfrac{x-36}{16}-4\right)+\left(\dfrac{x-15}{17}-5\right)\)\(\Leftrightarrow\dfrac{x-100}{10}+\dfrac{x-100}{12}=\dfrac{x-100}{14}+\dfrac{x-100}{16}+\dfrac{x-100}{17}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-100\right)\left(\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{14}-\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{17}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-100=0\)

\(\Rightarrow x=100\)

vậy \(S=\left\{100\right\}\)

gọi số tuổi của hoa là x( tuổi) (x>0) mà tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi hoa nên số tuổi của mẹ là 3x( tuổi). 12 năm nữa tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi hoa do đó tuổi mẹ là 3x+12 và tuổi hoa là x+12

theo đề bài ta có phương trình:

3x+12=2(x+12)

\(\Leftrightarrow3x+12=2x+24\)

\(\Leftrightarrow3x-2x=24-12\)

\(\Rightarrow x=12\)

vậy tuổi của hoa là 12 tuổi còn tuổi của mẹ hoa là 12\(\times\)3=36 tuổi

gọi số năm nữa để tuổi của mẹ gấp 1.5 tuổi của hoa là y (năm) (y>0)

ta có phương trình:

\(36+y=1.5\left(12+y\right)\)

\(\Leftrightarrow36+y=18+1.5y\)

\(\Leftrightarrow36-18=1.5y-y\)

\(\Leftrightarrow18=0.5y\)

\(\Rightarrow y=36\)

vậy sau 36 năm tuổi của mẹ là 36+36=72 tuổi và tuổi của hoa là 12+36=48 tuổi

mk lm hơi dài nhé