Question

Cho x, y, z là các số khác 0 và x² = yz , y² = xz , z ² = xy. Chứng minh rằng: x = y = z

Answer 1

Từ \(x^2=yz\Rightarrow\dfrac{x}{z}=\dfrac{y}{x}\)(1)

Từ \(y^2=xz\Rightarrow\dfrac{y}{x}=\dfrac{z}{y}\)(2)

Từ \(z^2=xy\Rightarrow\dfrac{z}{y}=\dfrac{x}{z}\)(3)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow\dfrac{x}{z}=\dfrac{y}{x}=\dfrac{z}{y}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

\(\dfrac{x}{z}=\dfrac{y}{x}=\dfrac{z}{y}=\dfrac{x+y+z}{z+x+y}=1\)

Khi đó : \(\dfrac{x}{z}=1\Rightarrow x=z\)

\(\dfrac{y}{x}=1\Rightarrow y=x\)

\(\dfrac{z}{y}=1\Rightarrow z=y\)

Vậy...ta có đpcm

Answer 2

Ta có x²₌yz nên x/y=z/x(1)

y²₌xz nên x/y=y/z(2)

z²₌xy nên z/x=y/z(3)

Từ 1,2,3 suy ra x/y=z/x=y/z(4)

áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau vào 4 có

x/y=z/x=y/z=x+y+z/x+y+z

vì x, y,z khác 0 nên x+y+z Khác 0

suy ra x+y+z/z+x+y=1

suy ra x/y=z/x=y/z=1

suy ra x=y; x=z; y=z

suy ra x=y=z