\(12\ge4xy+\left(2\sqrt{xy}\right)^3\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(2xy+3\sqrt{xy}+3\right)\le0\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}\le1\)
Ta chứng minh BĐT sau: \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\le\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\left(1-\sqrt{xy}\right)\ge0\) (luôn đúng)
\(\Rightarrow P\le\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+2018xy\)
Mà \(\sqrt{xy}\le1\Rightarrow xy\le\sqrt{xy}\Rightarrow P\le\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+2018\sqrt{xy}\)
Đặt \(\sqrt{xy}=a\le1\Rightarrow P\le\frac{2}{1+a}+2018a\)
Ta sẽ chứng minh \(\frac{2}{1+a}+2018a\le2019\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(2+2018a+2018a^2\le2019+2019a\)
\(\Leftrightarrow2018a^2-a-2017\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(2018a+2017\right)\le0\) (luôn đúng với \(0< a\le1\))
\(\Rightarrow P_{max}=2019\) khi \(a=1\) hay \(x=y=1\)
Bạn tham khảo tạm :D
