Question

cho x , y > 3 :

a , Tìm max : \(p=\dfrac{\sqrt{x-3}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-3}}{y}\)

b , Tìm max : \(Q=\dfrac{x}{\sqrt{x-3}}+\dfrac{y}{\sqrt{y-3}}\)

Answer 1

Lời giải:

Câu a:

Áp dụng BĐT Cô-si ngược dấu ta có:

\(\sqrt{3(x-3)}\leq \frac{3+(x-3)}{2}=\frac{x}{2}\)

\(\Rightarrow \sqrt{x-3}\leq \frac{x}{2\sqrt{3}}\Rightarrow \frac{\sqrt{x-3}}{x}\leq \frac{1}{2\sqrt{3}}\)

Hoàn toàn tương tự: \(\frac{\sqrt{y-3}}{y}\leq \frac{1}{2\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow p=\frac{\sqrt{x-3}}{x}+\frac{\sqrt{y-3}}{y}\leq \frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(3=x-3; 3=y-3\Rightarrow x=y=6\)

Vậy \(p_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow x=y=6\)

Câu b: Các phân thức của $q$ là nghịch đảo của $p$ nên $q$ có min thôi em nhé. Nếu tìm min thì tương tự như câu a.