Cho tam giác nhọn ABC, AD là đường cao. Vẽ các điểm M, N sao cho AB là trung trực của DM, AC là trung trực của DN. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của MN với AC, AB. CMR: a) Tam giác AMN cân b) DE+EF+DF=MN c) DA là phân giác góc EDF d) Giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF và trực tâm tam giác ABC trùng nhau
a) Ta có: AB là đường trung trực của DM(gt)
⇔A nằm trên đường trung trực của DM
hay AM=AD(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: AC là đường trung trực của DN(gt)
⇔A nằm trên đường trung trực của DN
hay AD=AN(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AM=AN
Xét ΔAMN có AM=AN(cmt)
nên ΔAMN cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
b) Ta có: AB là đường trung trực của MD(gt)
mà F∈AB(AB\(\cap\)MN={F})
nên FB là đường trung trực của MD
⇔F nằm trên đường trung trực của MD
hay FM=FD(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Ta có: AC là đường trung trực của DN(gt)
mà E∈AC(AC\(\cap\)MN={E})
nên EC là đường trung trực của DN
⇔E nằm trên đường trung trực của DN
hay ED=EN(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)
Ta có: ME+EN=MN(E nằm giữa M và N)
mà ME=MF+FE(F nằm giữa M và E)
nên MN=MF+FE+EN(5)
Từ (3),(4) và (5) suy ra DE+EF+FD=MN(đpcm)
