Gọi cạnh tam giác là a thì \(a=R\sqrt{3}\)
Do tính đối xứng của đường tròn và tam giác đều, không mất tính tổng quát, giả sử M nằm trên cung nhỏ BC
\(\Rightarrow\widehat{BMC}=180^0-\widehat{BAC}=120^0\)
\(\Rightarrow AM.BC=AB.CM+AC.BM\Leftrightarrow AM=BM+CM\)
\(\Rightarrow S=\left(BM+CM\right)^2+2BM^2-3CM^2\)
\(=3BM^2+2BM.CM-2CM^2\)
Lại có: \(BC^2=BM^2+CM^2-2MB.MC.cos\widehat{BMC}\)
\(=BM^2+CM^2+MB.MC\Rightarrow MB.MC=3R^2-BM^2-CM^2\)
\(\Rightarrow S=6R^2+BM^2-4CM^2\)
Gọi I là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{BI}-4\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{BI}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow BI=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}R\) ; \(CI=\dfrac{\sqrt{3}}{3}R\)
\(S=6R^2+\left(\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IM}\right)^2-4\left(\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IM}\right)^2\)
\(S=6R^2+BI^2-4CI^2-3IM^2=10R^2-3IM^2\)
\(S_{max}\) khi \(IM_{min}\Rightarrow M\equiv C\Rightarrow S=CA^2+2CB^2=9R^2\)
Hmm, sao lại không có nhỉ, thử cách khác.
O đồng thời là trọng tâm tam giác
\(S=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)^2+2\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)^2-3\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)^2\)
\(=OA^2+2OB^2-3OC^2+2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC}\right)\)
\(=2\overrightarrow{MO}\left[\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{CO}+2\overrightarrow{OB}\right]\)
\(=2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}\right)=2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{CE}\)
Với E là điểm sao cho \(\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CE}\)
Ta có: \(AE=CD=2BC=2\sqrt{3}R\) ; \(\widehat{CAE}=120^0\)
\(\Rightarrow CE=\sqrt{AC^2+AE^2-2AC.AE.cos120^0}=R\sqrt{21}\)
\(S=2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{CE}=2MO.CE.cos\left(\widehat{MO};\overrightarrow{CE}\right)=2R.R\sqrt{21}.cos\left(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{CE}\right)\)
\(=2\sqrt{21}R^2.cos\left(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{CE}\right)\le2\sqrt{21}R^2\)
\(\Rightarrow S_{max}=2\sqrt{21}R^2\) khi \(\overrightarrow{OM}\) cùng chiều \(\overrightarrow{CE}\)
Lần này chắc là đúng rồi, sai sót của bài làm cũ ở chỗ biểu thức S không đối xứng A; B; C nên việc giả sử M nằm trên cung nhỏ BC là sai
Update thêm cái hình vẽ cho bạn dễ hình dung
