Question

cho tam giác DEF vuông tại E (DE<EF), EH ⊥ DF (H∈DF). HM⊥EF (M∈EF). HN⊥DE (N∈DE). MN cắt EH tại A và cắt DF tại B. C là trung điểm của DF. HO⊥EB (O∈EB). chứng minh rằng:
a) EH=MN
b) A là trực tâm của CEB.
c) FO⊥OD

Answer 1

a) Tứ giác HMEN có: \(\widehat{MEN}=\widehat{ENH}=\widehat{EMH}=90^0\)

\(\Rightarrow\)HMEN là hình chữ nhật.

\(\Rightarrow EH=MN\).

b) *MN cắt EC tại I.

△DEF có EC là trung tuyến.

\(\Rightarrow EC=CF=\dfrac{1}{2}DF\).

\(\Rightarrow\)△ECF cân tại C nên \(\widehat{CEF}=\widehat{CFE}\).

HMEN là hình chữ nhật \(\Rightarrow\widehat{NME}=\widehat{HEM}\).

Có: \(\widehat{CFE}+\widehat{HEM}=90^0\) (△HEF vuông tại H).

\(\Rightarrow\widehat{CEF}+\widehat{NME}=90^0\)

\(\Rightarrow180^0-\widehat{EIM}=90^0\Rightarrow\widehat{EIM}=90^0\)

\(\Rightarrow\)EC⊥NM tại I.

△CEB có: 2 đường cao BM và EH cắt nhau tại A.

\(\Rightarrow\)A là trực tâm của △CEB.

c) *G là giao của AC và BE.

A là trực tâm của △CEB \(\Rightarrow\)AC⊥OE tại G.

Mà OH⊥EB \(\Rightarrow\)AC//OH.

HMEN là hình chữ nhật \(\Rightarrow\)A là trung điểm EH.

△OHE có: AG//OH, A là trung điểm EH.

\(\Rightarrow\)G là trung điểm OE.

△COE có: CG vừa là trung tuyến vừa là đường cao.

\(\Rightarrow\)△COE cân tại C.

\(\Rightarrow CO=CE=\dfrac{1}{2}DF\)

△DOF có: OC là trung tuyến và \(OC=\dfrac{1}{2}DF\)

\(\Rightarrow\)△DOF vuông tại O \(\Rightarrow\)FO⊥OD.