Question

Cho tam giác DEF nhọn (DE < DF), Đường cao EM, FN cắt nhau ở H, đường thẳng MN cắt đường thăng EF ở P. Gọi giao điểm của PD với đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là K, Q là trung điểm của EF. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ENMF là tứ giác nội tiếp.

b) PN.PM = PK.PD.

c) PH vuông góc với DQ

Answer 1

b, Vì K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF nên tứ giác DKEF nội tiếp

→PKE = PFD (góc ngoài tứ giác)

mà DPF chung

→ΔPKE đồng dạng ΔPFD (góc-góc)

→\(\dfrac{PK}{PE}=\dfrac{PF}{PD}\) 

→PK.PD=PF.PE (1)

Vì tứ giác NMFE là tứ giác nội tiếp

→PNE =PFD

mà MPF chung

→ΔPNE đồng dạng ΔPFM (góc-góc)

→\(\dfrac{PN}{PE}=\dfrac{PF}{PM}\) (2 góc tương ứng)

→PN.PM=PE.PF (2)

Từ (1) và (2) suy ra:PN.PM=PK.PD(đpcm)

Answer 2

c) Mình ghi có hơi gọn tí ở một số bước (do đây là những bài toán cơ bản, có thể tự chứng minh được), bạn thông cảm nha!

ENMF nội tiếp và DNHM nội tiếp

\(\Rightarrow PE.PF=PN.PM=PK.PD\)  hay \(PN.PM=PK.PD \Rightarrow \) DKNM nội tiếp

\(\Rightarrow\) DKNHM nội tiếp hay DKHM nội tiếp

\(\Rightarrow \widehat{DKH}=180^{\circ}-\widehat{DMH}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}\) hay \(HK \perp PD\) 

Kẻ đường kính DA của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta DEF\)

\(\Rightarrow\) EHFA là hình bình hành (bài toán quen thuộc)

     Hay H, Q, A thẳng hàng

\(\Delta AKD\) nội tiếp đường tròn đường kính AD nên tam giác này vuông tại K

\(\Rightarrow AK\perp PD\) mà \(HK \perp PD\)

\(\Rightarrow \) A, H, K thẳng hàng mà H, Q, A thẳng hàng

\(\Rightarrow\) Q, H, K thẳng hàng

\(\Rightarrow QK \perp PD\) mà \(DH \perp PQ\)

\(\Rightarrow PH \perp DQ (đpcm)\)

Answer 3

a) Xét tứ giác ENMF có

\(\widehat{ENF}=\widehat{EMF}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{ENF}\) và \(\widehat{EMF}\) là hai góc cùng nhìn cạnh EF

Do đó: ENMF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)